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연산, 맥락문제의 사용이다. 수학학습은 실제적인 상황에서 시작해야하고, 1991). 셋째 원리는 발생모델이다. RME의 두 번째 기본원리는 교수학적 현상학이다. 따라서 RME에 기반한 수학학습연구는 초등수준에서뿐만 아니라 중?고등학교수준을 포함한 대학수준에서도 가능하다. RME 철학은 경험적으로 실제적인(experientially real) 맥락문제를 통해 학생들의 비형식적인 해결전략과 해를 고려하는 안내된 재발명에 초점을 두고 있다.사회과학 올립니다 수학 - RME 이론과 실제 [사회과학]수학 - RME 이론과 실제 RME 이론과 실제 Ⅰ. 학생들은 구성 활동을 통해서 수학과 과정에서 핵심 역할을 하면서 형식적인 수학적 개념, 학습영역(learning strands)의 연결이다. 이러한 Treffers의 제안은 결국 학생의 관점에서 시작해 반성, 이러한 세 가지 기본 원리는 점진적인 수학화를 통한 재발명을 강조한 Freudenthal의 철학에 기반을 두고 있다(Gravemeijer, 점진적 수학화를 통한 안내된 재발명 원리에서는 맥락문제가  ......

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사회과학 올립니다 수학 - RME 이론과 실제

[사회과학]수학 - RME 이론과 실제

RME 이론과 실제

Ⅰ. 서론

최근 수학교육에서는 수학적 지식의 본질과 수학교육의 목표에서 근본적인 변화가 이루어지고 있다. 수학학습은 실제적인 상황에서 시작해야하고, 학생과 교사 또는 학생들간의 상호작용을 통해 학생들이 해결과정을 스스로 발명하고 구성하는 것을 강조하고 있는데 이러한 변화된 관점은 RME의 철학과 많은 공통점을 가지고 있다.

RME 철학은 경험적으로 실제적인(experientially real) 맥락문제를 통해 학생들의 비형식적인 해결전략과 해를 고려하는 안내된 재발명에 초점을 두고 있다. 초등학교와 중등학교의 수학학습에서는 이러한 RME의 이론적 관점을 가지고 실세계 현상에 기반하여 교수설계(instructional design)를 한 후 그 효과를 분석한 연구들이 있다. 그러나 경험적으로 실제적이라는 것은 일상적인 상황뿐 아니라 수학적 지식의 토대 또한 경험적으로 실제적이어야 한다는 것을 의미한다. 따라서 RME에 기반한 수학학습연구는 초등수준에서뿐만 아니라 중?고등학교수준을 포함한 대학수준에서도 가능하다. 한편, 최근 미분방정식 교수에서는 미적분학의 개혁결과와 테크놀로지의 발달로 미분방정식의 질적인 접근과 수치적 접근을 강조하는 개혁미분방정식을 추구하였다. 그러나 미분방정식의 개혁노력은 Rasmussen(1999)이 지적한 바와 같이 학습 초기부터 그래프적?수치적 방법을 사용한다면 학생들은 그래프적?수치적 아이디어의 재발명과 구성과정에 참여하지 못한 채 무의미한 기호조작을 하는 것에 그치게 되며 이는 전통적 접근과 크게 다를 바가 없다. 따라서 이 연구는 RME의 이론적 틀을 대학수학에서 미분방정식에 적용하여 대학수학 교수학습에 새로운 방향을 탐색하고자 한다.

이를 위해 먼저 RME 이론에 대한 분석을 시작으로, 전통적으로 지도해왔던 대학미분방정식 수업의 문제점을 지적한 후, 그 대안으로 제시되어온 개혁지향 미분방정식이 RME의 이론적 틀에 부합되는지를 고찰하였다. 마지막으로 그에 따라 전통적인 미분방정식 수업에서 강조해온 절차적, 기호적 조작과 암기된 분석적 공식과는 다른 접근으로 RME 이론을 따르는 미분방정식 교수설계의 한 예시를 제시한다.

Ⅱ. RME의 기본원리

RME는 ‘인간활동으로서의 수학’에 그 뿌리를 두고 있다. 기본 원리는 안내된 재발명, 교수학적 현상학, 발생모델이며, 이러한 세 가지 기본 원리는 점진적인 수학화를 통한 재발명을 강조한 Freudenthal의 철학에 기반을 두고 있다(Gravemeijer, 1997).

첫째, 점진적 수학화를 통한 안내된 재발명 원리에서는 맥락문제가 점진적 수학화의 토대가 된다(Freudenthal, 1991). 학생들은 맥락문제를 토대로 경험적으로 실제적(experientially realistic)인 상황으로부터 비형식적인 해결 전략을 개발해 나간다. 이 때 ‘실제적’이란 학생들에게 경험적으로 실제적인 상황에 있는 수학적 지식의 토대를 언급하는 것이므로 맥락문제가 반드시 일상생활의 상황을 다룰 필요는 없다. 중요한 것은 문제가 상황화되는 맥락 내에서 학생들이 지적으로 활동할 수 있게 하기 위해서 맥락이 학생들에게 경험적으로 실제적이어야 한다는 것이다(Gravemeijer, 1997).

따라서 학생들의 비형식적 전략을 시작으로 학생들이 수학의 발명과정과 유사한 과정을 경험하면서 점진적 수학화에 의해 더 형식적인 전략을 재발명하도록 안내하는 일이 중요하다. 이 때 학습자에게 이미 정의된 구조를 제시하지 않고 수학적 지식을 개발하는 과정으로 안내하는 방법에 대한 문제가 제기될 수 있다. Treffers(1987)에 의하면 다음의 다섯 가지 구체적인 원리를 통해 안내된 재발명 원리가 구현될 수 있다. 첫째, 맥락문제의 사용이다. 학생들이 지적으로 이해하여 다룰 수 있는 맥락에 모든 문제를 놓아서, 맥락 문제가 형식적 조작과 기호가 기반하는 시작점이 되게 한다. 둘째, 수직적 도구에 의한 연결이다. 수직적 도구의 역할을 하는 모델과 전략이 문제해결과정에서 발생되고, 발생된 모델과 전략은 직관적인 비형식적 전략으로부터 더 추상적인 절차로 발달하며, 직관적 수준과 형식적 수준사이의 차이를 연결해 준다. 셋째, 학생들의 구성활동이다. 학생들은 구성 활동을 통해서 수학과 과정에서 핵심 역할을 하면서 형식적인 수학적 개념, 연산, 구조를 학습해간다. 따라서 학생 자신의 구성으로부터 새로운 전략이 만들어지고 자신의 구성활동에 대한 반성적 사고가 촉진될 수 있다. 넷째, 상호작용이다. 학생들의 비형식적 방법은 대안적 전략을 토론하고 반성하는 구성적 학습과정에 필요 요소가 된다. 다섯째, 학습영역(learning strands)의 연결이다. 학습영역은 분리된 실체로서 다뤄지지 않고 서로 연관되고 통합되어 수학적 지식과 기능이 하나의 구조화된 전체로 조직된다. 이러한 Treffers의 제안은 결국 학생의 관점에서 시작해 반성, 토론, 다양한 해결을 해나가는 학습자 중심의 학습과정에서 점진적 수학화 과정이 이루어져 나간다는 것이다.

RME의 두 번째 기본원리는 교수학적 현상학이다. Freudenthal(1983)의 교수학적 현상학에서 수학적 개념의 현상학이란 개념이 조직하는 현상과 수학적 개념 사이의 관계를 교수학적 측면에서 논하는 것이다. 교수학적 현상학을 따르기 위해서는 점진적 수학화 과정을 위해 수학이 적용되는 상황이 조사되어야 한다. Gravemeijer(1994a)에 의하면 교수현상학의 목표는 개념을 조직하여 수직적 수학화를 촉진할 수 있는 상황을 찾는 것이다. 즉, 현상학적 방법을 통해 현상과 본질의 관계가 교수학적 측면에서 논해짐으로써 교실에서 만들어질 수 있는 현상학적으로 적절한, 학생들에게 실제적인 상황을 찾는 것이 교수학적 현상학의 목표라 할 수 있다.

셋째 원리는 발생모델이다. 이는 학생들이 그들의 비형식적 수학활동의 기호모델을 창조할 수 있다는 것이다. Gravemeijer(1994a)에 의하면 비형식적 상황에서 만들어진 상황의 모델(model of)에서 수학화를 통해 만들어진 추론을 위한 모델(model for)로의 전이는 Ernest(

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